Drei Fragen an ein digitales Ökosystem

Im ersten Bericht haben wir „Biotop“ vorgestellt: Conways Game of Life, aber als Wettkampf – zwei Farben, Rot und Blau, kämpfen auf einem gemeinsamen Gitter um die dominierende Population. Seitdem hat das Projekt nicht nur Code dazugewonnen, sondern vor allem Fragen. Drei davon haben sich als überraschend tief herausgestellt – und genau diese drei beantwortet dieser zweite Bericht. Sie sehen harmlos aus, führen aber mitten hinein in das, was ein Informatikstudium im ersten Semester „Diskrete Modellierung“ nennt.

Bevor wir loslegen: Unten könnt ihr direkt selbst eine Spezies zeichnen und auf dem 8×8-Feld simulieren. Der Simulator ist kein Spielzeug, sondern unsere erste Antwort auf Frage 1.

Frage 1

Wie wird ein Schachbrett unendlich?

Das echte Game of Life lebt auf einem unendlich großen Feld. Ein Gleiter darf für immer geradeaus fliegen, ein Muster darf wachsen, solange es will. Ein Computer hat aber keinen unendlichen Speicher – unser Spielfeld ist ein endliches Schachbrett aus 8×8 Feldern. Was passiert am Rand? Sterben Zellen, die hinausfallen? Prallen sie ab? Beides wäre unfair: Wer am Rand startet, hätte plötzlich andere Regeln als wer in der Mitte sitzt.

Die Lösung ist ein alter Trick aus der Mathematik und aus den Videospielen der 80er-Jahre (man denke an Pac-Man oder Asteroids): Wir verkleben die Ränder. Die rechte Kante wird mit der linken verbunden, die obere mit der unteren. Eine Zelle, die rechts hinausläuft, taucht links wieder auf. Eine Zelle, die oben hinausläuft, erscheint unten.

Geometrisch entsteht dabei etwas Schönes: Klebt man zuerst links und rechts zusammen, wird aus dem Blatt ein Zylinder. Klebt man dann noch oben und unten zusammen, biegt sich der Zylinder zu einem Donut – in der Mathematik heißt das Torus. Auf dieser Oberfläche gibt es keinen Rand mehr. Jede Zelle hat exakt 8 Nachbarn, egal wo sie sitzt. Das endliche Schachbrett verhält sich für die Spielregeln, als wäre es unendlich und vollkommen gleichförmig – kein Ort ist mehr „besonders“.

Zeichne oben ein Muster, drücke „Simulieren“ und beobachte dieselbe Simulation auf dem Donut von allen Seiten – die verklebten Ränder sind hier sichtbar zusammengeführt.

Frage 2

Wie viele verschiedene Biotope kann es auf einem 8×8 geben?

Beim Turnier zeichnet jedes Team eine Start-Spezies auf ein 8×8-Feld – das sind 64 Felder, jedes entweder lebendig oder tot. Damit aber niemand das Feld einfach komplett vollstopft, gilt eine Fair-Play-Regel: Die „Biomasse“ ist auf 38 % begrenzt, also höchstens 24 lebende Zellen von 64 (genau das Limit, das der Simulator oben durchsetzt). Die spannende Frage lautet daher: Wie viele erlaubte Spezies gibt es unter dieser Regel? Die Antwort ist ein erstes echtes Aha-Erlebnis der Kombinatorik.

Dafür brauchen wir den Binomialkoeffizienten („n über k“): Er zählt, auf wie viele Arten man k Zellen aus 64 Plätzen auswählen kann. Da ein Muster zwischen 0 und 24 Zellen haben darf, addieren wir alle erlaubten Fälle auf:

∗ Die Summe beginnt bei k=0, dem leeren Feld: als Konfiguration mitgezählt, aber keine spielbare Spezies (der Editor lässt 0 Zellen gar nicht erst abschicken) – tatsächlich einreichbar ist also genau eines weniger.

Diese Zahl ist schwer zu fassen: Es gibt mehr erlaubte Spezies, als es Sekunden seit dem Urknall gegeben hat. „Alle durchprobieren“ ist also keine Option – weder für uns noch für den schnellsten Rechner. Genau das macht das Turnier spannend: Es gibt keine Tabelle „bester Muster“, die man auswendig lernen könnte. Man muss bauen, simulieren und mutig sein.

Frage 3

Ist die rechte oder die linke Seite im Vorteil?

Im Match treten zwei Spezies an. Die eine startet links, die andere rechts; zusammen bilden sie ein 8×16-Feld. Ursprünglich waren wir überzeugt: Die Seite muss einen Unterschied machen. Deshalb spielte jedes Paar zwei Runden – einmal so, einmal mit getauschten Seiten, damit es „gerecht“ zugeht. Doch beim Zuschauen fiel etwas auf: Runde 2 sah jedes Mal aus wie ein Spiegelbild von Runde 1, mit vertauschten Farben – gleicher Sieger, gleicher Abstand, gleiche Endgeneration. Zufall? Oder steckt da ein Gesetz dahinter?

Wir haben es nicht beim Beobachten belassen, sondern es bewiesen. Der Schlüssel ist Frage 1: Weil das Feld ein Torus ist, gibt es keinen Rand und keinen ausgezeichneten Ort. „Die rechte Hälfte“ um 8 Spalten zu verschieben, ist auf dem Donut dieselbe Operation wie „die linke Hälfte“ – das Feld merkt den Unterschied gar nicht. Verschiebt man die Startaufstellung um eine halbe Torusbreite und tauscht zusätzlich die beiden Farben, erhält man exakt die Aufstellung der zweiten Runde.

Entscheidend ist nun ein winziges Detail der Spielregeln: Eine neue Zelle entsteht nur bei genau 3 lebenden Nachbarn. Und 3 ist eine ungerade Zahl. Das heißt: Unter drei Nachbarn kann es niemals ein perfektes Unentschieden „2 rot gegen 2 blau“ geben – eine Farbe ist immer in der Mehrheit. Es gibt also keinen versteckten Münzwurf, der eine Farbe bevorzugen könnte. Die Regel ist vollkommen farb-symmetrisch.

Aus diesen beiden Bausteinen – randloser Torus + farb-symmetrische Regel – folgt mathematisch zwingend: Runde 2 ist nicht nur ähnlich, sondern eine exakte, vorhersagbare Kopie von Runde 1. Jeder Spieler endet in beiden Runden mit derselben Population, egal ob er links oder rechts gestartet ist. Die Seite ist für das Ergebnis vollständig bedeutungslos.

Was diese drei Fragen verbindet

Auffällig ist, wie eng die drei zusammenhängen. Frage 1 (der Torus) ist die Voraussetzung dafür, dass Frage 3 (kein Seitenvorteil) überhaupt „nein“ lauten kann – auf einem Feld mit Rand sähe die Sache anders aus. Und Frage 2 (die schiere Zahl der Möglichkeiten) erklärt, warum dieses Turnier nie „gelöst“ sein wird: Es gibt zu viele Biotope, um sie auszurechnen – man muss sie leben lassen. Genau dafür bauen wir Biotop.

Auf dem Weg zum Jubiläum

Bis zur WIAI25-Feier bringen wir das Ausstellungsstück in Form: ein großer Bildschirm voller lebender, kämpfender Spezies, eine globale Rangliste und am Ende die Krönung eines Community-„Biotop-Champions“. Zeichnet ruhig schon im Simulator oben eure erste Spezies – und seid dabei, wenn aus 553 Billiarden Möglichkeiten eure ganz persönliche Lebensform wird.